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2024 | Buch

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Kalman-Filter

Einführung in die Zustandsschätzung und ihre Anwendung für eingebettete Systeme

verfasst von: Reiner Marchthaler, Sebastian Dingler

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch befasst sich leicht verständlich mit der Theorie der Kalman-Filterung. Die Autoren geben damit eine Einführung in Kalman-Filter und deren Anwendung für eingebettete Systeme. Zusätzlich wird anhand konkreter Praxisbeispiele der Kalman-Filterentwurf demonstriert – Teilschritte werden im Buch ausführlich erläutert.Kalman-Filter sind die erste Wahl, um Störsignale auf den Sensorsignalen zu eliminieren. Dies ist von besonderer Bedeutung, da viele technische Systeme ihre prozessrelevanten Informationen über Sensoren gewinnen. Jeder Messwert eines Sensors weißt jedoch aufgrund verschiedener Ursachen einen Messfehler auf. Würde ein System nur auf Basis dieser ungenauen Sensorinformationen arbeiten, so wären viele Anwendungen, wie zum Beispiel ein Navigationssystem oder autonome arbeitende Systeme, nicht möglich.Das Buch ist geeignet für interessierte Bachelor- und Master-Studierende der Fachrichtungen Informatik, Maschinenbau, Elektrotechnik undMechatronik. Ebenso ist das Buch eine Hilfe für Ingenieure und Wissenschaftler, die ein Kalman-Filter z. B. für die Datenfusion oder die Schätzung unbekannter Größen in Echtzeitanwendungen einsetzen möchten.

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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Einleitung

Frontmatter

Kapitel 1. Einführendes Beispiel

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird der Entwurf eines Kalman-Filters anhand eines historischen Beispiels beschrieben. Es wird gezeigt wie Ort und Geschwindigkeit der Apollo-Mondfähre durch Messung der Position der Mondlandefähre durch vier auf der Erde befindliche Dopplerradar-Stationen und der an Bord befindlichen Inertialsensorik geschätzt werden kann.

Reiner Marchthaler, Sebastian Dingler

Grundlagen

Frontmatter

Kapitel 2. Zustandsraumbeschreibung

Zusammenfassung

Kalman-Filter basieren auf der Beschreibung eines physikalischen dynamischen Systems im Zustandsraum und nutzen somit diese Vorteile. Aufgrund dessen wird im nachfolgenden Kapitel auf die Beschreibung solcher Systeme im Zustandsraum eingegangen. Dazu wird ausgeführt, wie Differentialgleichungen in die Zustandsraumbeschreibung überführt werden können und wie die beiden Systemeigenschaften „Beobachtbarkeit“ „Steuerbarkeit“ definiert sind. Da Kalman-Filter in Rechnern verwendet werden, in denen nur zeitdiskrete Werte vorliegen, wird im Speziellen nach der Lösung der Zustandsgleichung auf die für Kalman-Filter wichtige Beschreibung zeitdiskreter Systeme am Ende des Kapitels eingegangen.

Reiner Marchthaler, Sebastian Dingler

Kapitel 3. Wahrscheinlichkeitstheorie

Zusammenfassung

Die Wahrscheinlichkeitstheorie stellt das zweite wichtige Grundlagenkapitel dieses Buchs dar. Das Kapitel dient dazu, die Grundlagen zu erarbeiten, um später die Mechanismen zu verstehen, wie es mit dem Kalman-Filter möglich ist, die messtechnisch erfassbaren, verrauschten Größen zu filtern und die unbekannten Größen zu schätzen. Hierzu werden in diesem Kapitel die wichtigsten Grundlagen für die Zustandsschätzung dargelegt. Es wurde bewusst nur auf den Teil der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik eingegangen, der für die Zustandsschätzung mit Kalman-Filtern relevant ist.

Reiner Marchthaler, Sebastian Dingler

Kapitel 4. Signaltheorie

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden die aus dem Bereich der Signaltheorie für die Zustandsschätzung mit Kalman-Filter relevanten Teile kurz angerissen. Dieses Kapitel steht in einem engen Zusammenhang mit dem Grundlagenkapitel 3. Es wird deshalb empfohlen, vorab dieses Kapitel zu lesen. Aufbauend auf das vorige Kapitel 3 werden in diesem Kapitel die Begriffe Stochastischer Prozess, die Autokorrelation und Kreuzkorrelation eingeführt und am Ende noch weitere spezielle Stochastische Prozesse wie das „weiße Rauschen“ beschrieben

Reiner Marchthaler, Sebastian Dingler

Kalman-Filter

Frontmatter

Kapitel 5. Klassisches Kalman-Filter

Zusammenfassung

Damit Kalman-Filter korrekt eingesetzt werden können, ist es wichtig, die Randbedingen zu kennen, unter der die Kalman-Gleichungen verwendet werden dürfen. Dies bedeutet, dass die jeweilig zu lösende Aufgabe dahingehend zu überprüfen ist. Sind diese Voraussetzungen nicht gegeben, liefern die Kalman-Gleichungen nicht das gewünschte Ergebnis. Hierzu werden in diesem Kapitel die Grundgleichungen der Kalman-Filter hergeleitet und an den jeweiligen Stellen darauf hingewiesen, welche Voraussetzungen gelten. Zu Beginn wird die Struktur eines klassischen Kalman-Filters beschrieben, welches auf die Zustandsraumbeschreibung eines realen Systems inkl. Mess- und Systemrauschen aufbaut. Im Anschluss daran werden die Grundgleichungen, aufgeteilt in Prädiktion und Korrektur, hergeleitet. Am Ende wird noch eine alternative Berechnung der Kalman-Verstärkung vorgestellt. Diese stellt im Speziellen für das adaptive Kalman-Filter (ROSE-Filter) eine wichtige Grundgleichung dar.

Reiner Marchthaler, Sebastian Dingler

Kapitel 6. Adaptiver Kalman-Filter (ROSE-Filter)

Zusammenfassung

Um das Kalman-Filter optimal zu nutzen, ist es von großer Wichtigkeit, die Kovarianz des Messrauschens \(\underline{R}(k)\) und des Systemrauschens \(\underline{Q}(k)\) möglichst exakt zu bestimmen. Erst durch eine exakte Bestimmung der beiden Kovarianzen ist es möglich, eine optimale Zustandsschätzung und eine korrekte Schätzung der Kovarianz des Schätzfehler zu erreichen. Für viele Anwendungen reicht es nicht aus, diese beiden Größen einmal abzuschätzen, da sie sich im Laufe der Zeit zum Teil stark ändern. Im Folgenden wird ein Ansatz gezeigt, mit dem schnell und adaptiv das Mess- und Systemrauschen bestimmt werden kann. Dieses lineare Kalman-Filter mit adaptiver Bestimmung der beiden Kovarianz-Matrizen wird im Folgenden als ROSE-Filter (Rapid Ongoing Stochastic covariance Estimation-Filter) bezeichnet.

Reiner Marchthaler, Sebastian Dingler

Kapitel 7. Nichtlineare Kalman-Filter

Zusammenfassung

Nicht alle Differenzialgleichungssysteme lassen sich mit der linearen Zustandsraumdarstellung darstellen. Für solche Problemstellungen muss eine allgemeingültige Systembeschreibung gefunden werden. Mit dieser verallgemeinerten Beschreibung lässt sich das „klassische Kalman-Filter“ zu einem „Extended Kalman-Filter“ entwickeln.

Reiner Marchthaler, Sebastian Dingler

Kapitel 8. Systemrauschen

Zusammenfassung

Das Systemrauschen, auch Prozessrauschen genannt, ist eine abstrakte Größe, die Ungenauigkeiten in der Modellierung abbildet. Es handelt sich somit nicht um ein reales Rauschen, sondern vielmehr um eine theoretische Größe, die diese Modellungenauigkeiten beschreibt. In Anlehnung an das Vorgehen in Kapitel 2.5 zur Bestimmung der Eingangsmatrix \(B_d\) im Zeitdiskreten werden mehrere Verfahren zur Bestimmung der Größen \(\underline{G}_d\) bzw. \(\underline{G}_{\,d} \!\cdot \! \underline{Q}(k) \!\cdot \! \underline{G}_{\,d}^T\) vorgestellt.

Reiner Marchthaler, Sebastian Dingler

Kapitel 9. Gütemasse

Zusammenfassung

Wesentlich für die Leistung eines Kalman-Filters ist, dass der Schätzwert möglichst nahe am wahren Wert des Zustandes liegt. Zudem wird erwartet, dass der Schätzer die Kovarianz des Schätzfehlers korrekt angibt. Für beide Aspekte existieren zwei wesentliche Metriken, den mittleren quadratischen Fehler und das normalisiertes Schätzfehlerquadrat.

Reiner Marchthaler, Sebastian Dingler

Anwendungsbeispiele

Frontmatter

Kapitel 10. Prinzipielles Vorgehen

Zusammenfassung

Bei dem Entwurf des Kalman-Filters im einführenden Beispiel wurde schon eine Methodik sichtbar, mit der sich viele Kalman-Filter entwickeln lassen. Diese Methodik (Kochrezept) und die hierfür notwendigen Schritte sollen im Folgenden nochmals verdeutlicht werden.

Reiner Marchthaler, Sebastian Dingler

Kapitel 11. Beispiel: Bias-Schätzung

Zusammenfassung

Mit diesem Beispiel soll der Entwurf und die Arbeitsweise eines Kalman-Filters in einfacher Weise dargelegt werden. Grundlage ist die im vorigen Kapitel vorgestellte Methodik zum Entwurf eines Kalman-Filters.

Reiner Marchthaler, Sebastian Dingler

Kapitel 12. Beispiel: Kinematische Modelle

Zusammenfassung

Kalman-Filter besitzen die Einschränkung, dass der Schätzfehler und das Messrauschen unkorreliert sein müssen. Ein Messrauschen mit Offset führt dazu, dass diese Bedingung oft nicht mehr gegeben ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn ein solcher Offset den Schätzfehler bei der Zustandsschätzung vergrößert. Aus diesem Grund ist für viele Kalman-Filter die Forderung aufgestellt, dass der Erwartungswert des Messrauschens 0 ist. Mit derselben Argumentation wird auch gefordert, dass der Erwartungswert des Systemrauschens 0 sein muss. Bei der Verwendung von Kalman-Filtern bedeutet dies jedoch eine große Einschränkung. In diesem Kapitel soll nun anhand des einführenden Beispiels mit der Mondfähre gezeigt9 werden,wie es möglich ist, trotz eines Offsets im Beschleunigungssignal die Zustandsgrößen korrekt zu bestimmen.

Reiner Marchthaler, Sebastian Dingler

Kapitel 13. Beispiel: Messrauschen mit Offset

Zusammenfassung

Kalman-Filter besitzen die Einschränkung, dass der Schätzfehler und das Messrauschen unkorreliert sein müssen. Ein Messrauschen mit Offset führt dazu, dass diese Bedingung oft nicht mehr gegeben ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn ein solcher Offset den Schätzfehler bei der Zustandsschätzung vergrößert. Aus diesem Grund ist für viele Kalman-Filter die Forderung aufgestellt, dass der Erwartungswert des Messrauschens 0 ist. Mit derselben Argumentation wird auch gefordert, dass der Erwartungswert des Systemrauschens 0 sein muss. Bei der Verwendung von Kalman-Filtern bedeutet dies jedoch eine große Einschränkung. In diesem Kapitel soll nun anhand des einführenden Beispiels mit der Mondfähre gezeigt werden,wie es möglich ist, trotz eines Offsets im Beschleunigungssignal die Zustandsgrößen korrekt zu bestimmen.

Reiner Marchthaler, Sebastian Dingler

Kapitel 14. Beispiel: Alternatives Bewegungsmodell der Mondfähre

Zusammenfassung

Bezug nehmend auf das einführende Beispiel aus Kap. 1 soll in diesem Kapitel das Modell mit einem alternativen (reduzierten) Zustandsvektor in die Zustandsraumdarstellung überführt werden. Hierbei wird im Gegensatz zu allen bisherigen Beispielen eine der messtechnisch erfassbaren Größen über die Eingangsgröße \(\underline{u}(t)\) statt über die Ausgangsgröße \(\underline{y}(t)\) dem Kalman-Filter zugeführt.

Reiner Marchthaler, Sebastian Dingler

Kapitel 15. Beispiel: Kovarianzmatrix Messrauschen

Zusammenfassung

Für viele Anwendungen ist es notwendig, die Kovarianzmatrix des Messrauschens zu kennen. Besonders wichtig wird dies, wenn die Kovarianzmatrix des Messrauschens zeitinvariant ist. Zur Schätzung dieser Kovarianz eignet sich auch ein Kalman-Filter. Das ROSE-Filter nutzt genau dieses Verfahren aus, um die Kovarianzmatrix \(\underline{R}\) zu bestimmen.

Reiner Marchthaler, Sebastian Dingler

Kapitel 16. Beispiel: Umfeldsensor mit ROSE-Filter

Zusammenfassung

In dem folgenden Kapitel sollen die Vorteile des ROSE-Filters (Rapid Ongoing Stochastic covariance Estimation-Filter) an einem weiteren Beispiel vorgestellt werden. Es wird gezeigt, dass durch die adaptive Schätzung der Varianzen des Mess- und des Systemrauschens eine deutlich bessere Schätzung der Zustandsgrößen und der Kovarianz des Schätzfehlers erfolgt.

Reiner Marchthaler, Sebastian Dingler

Kapitel 17. Beispiel: Fahrstreifenerkennung

Zusammenfassung

Dieses Kapitel beschreibt eine videobasierte Fahrstreifenerkennung, wie sie in Fahrerassistenzsystemen oder Systemen autonom fahrender Fahrzeuge vorkommt (siehe z. B. Abb. 17.1). Ein prominenter Vertreter eines solchen Fahrerassistenzsystems ist der Spurhalteassistent, der den Fahrer eines Fahrzeugs vor dem Verlassen der Fahrspur warnt. Hierzu wird die Position des Fahrzeugs in der Fahrspur mithilfe einer Kamera bestimmt. Verringert sich der Abstand des Fahrzeugs zur Fahrbahnmarkierung, wird der Fahrer gewarnt.

Reiner Marchthaler, Sebastian Dingler

Kapitel 18. Beispiel: Gleichstrommotor

Zusammenfassung

Das folgende Kapitel fokussiert sich auf die Zustandsschätzung eines Bürstenmotors, namentlich dessen Winkelposition \(\theta \), Winkelgeschwindigkeit \(\dot{\theta }\) und Ankerstrom i mit einem linearen Kalman-Filter. Für ein konkretes Beispiel wird angenommen, dass die Winkelgeschwindigkeit geregelt werden soll, aber lediglich die Winkelposition durch einen absoluten Drehgeber gemessen werden kann. Es wird gezeigt, dass die geschätzte Winkelgeschwindigkeit wesentlich genauer ist, als wenn die Winkelgeschwindigkeit durch die approximierte Ableitung der Winkelposition ermittelt wird.

Reiner Marchthaler, Sebastian Dingler

Kapitel 19. Beispiel: Positions- und Geschwindigkeitsschätzung mit EKF-Filter

Zusammenfassung

Durch die Einführung von GPS und andere Postionssensoren ist es möglich außerhalb und innerhalb von Gebäuden die Position zu bestimmen. Sehr oft werden diese Sensoren an Fahrzeugen verbaut um deren Position zu bestimmen. Die Geschwindigkeit sowie die Orientierung lässt sich nicht direkt messen. Ebenso der Kurvenradius (bzw. die Krümmung) auf dem sich das Fahrzeug gerade bewegt. In diesem Kapitel wird gezeigt wie die verrauschte Positionsinformation gefiltert werden kann sowie die unbekannte Geschwindigkeit des Fahrzeugs, dessen Orientierung in der Ebene und die Krümmung auf der aktuellen Trajektorie geschätzt werden kann.

Reiner Marchthaler, Sebastian Dingler

Backmatter

Titel: Kalman-Filter
verfasst von: Reiner Marchthaler
Sebastian Dingler
Copyright-Jahr: 2024
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Electronic ISBN: 978-3-658-43216-4
Print ISBN: 978-3-658-43215-7
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-43216-4

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