Formale Einführung der natürlichen Zahlen

In Kapitel 1 haben wir die von der Schule her bekannten Mengen der natürlichen Zahlen, ganzen Zahlen, rationalen Zahlen und reellen Zahlen eingeführt. Dies geschah in sehr informeller Weise und bei der Verwendung dieser Mengen und ihrer Operationen und Relationen haben wir bisher immer ein intuitives Verständnis von Zahlen vorausgesetzt. In Kapitel 1 haben wir auch erwähnt, dass es ein allgemeines Bestreben der an den Grundlagen orientierten Teile der Mathematik ist, alles, was man an mathematischen Objekten konstruiert, auf Mengen zurückzuführen. In diesem Kapitel zeigen wir, wie man natürliche Zahlen in der Sprache der Mengenlehre ausdrücken kann. Dieser Zahlenbereich ist eigentlich der einzige, von dem wir bisher wesentliche (und in der Schule wahrscheinlich nicht explizit so angesprochene) Eigenschaften verwendet haben, etwa, dass die geordnete Menge (N,≤) linear und Noethersch geordnet ist. Wir beginnen im ersten Abschnitt mit einer axiomatischen Einführung der natürlichen Zahlen, also mit der Forderung von Eigenschaften, weil eine solche Vorgehensweise den Zugang wesentlich erleichtert. Im Prinzip wird dann durch die im zweiten Abschnitt angegebene mengentheoretische Konstruktion bewiesen, dass es mathematische Strukturen gibt, die die Eigenschaften des ersten Abschnitts erfüllen. Wir werden sogar zeigen, dass alle diese Strukturen isomorph sind, man also von der Struktur der natürlichen Zahlen (in der angegebenen Weise) sprechen kann. In den letzten zwei Abschnitten zeigen wir dann, wie man von dieser Struktur der natürlichen Zahlen zu den Operationen und Relationen kommt, die wir von den natürlichen Zahlen her kennen, und auch die bekannten bzw. von uns bisher verwendeten Eigenschaften gelten.